Le dilemme du prisonnier est un jeu bien connu de la théorie des jeux non coopératifs qui met en évidence la façon dont le comportement rationnel individuel des "joueurs" peut conduire à un résultat sous-optimal pour toutes les parties concernées. C'est un jeu qui est souvent utilisé pour analyser la possibilité de coopération dans des situations où des individus intéressés interagissent stratégiquement.

L'histoire du dilemme du prisonnier est la suivante : deux criminels sont arrêtés parce qu'ils sont soupçonnés d'avoir commis un crime, disons un braquage de banque. La police ne dispose pas de suffisamment de preuves pour les condamner pour le braquage, mais elle a retenu des charges moins importantes pour chacun des deux. Les prisonniers sont détenus dans des cellules séparées d'une prison sans aucune possibilité de communication. Le procureur général propose aux deux prisonniers le même marché : s'ils trahissent leur complice ("trahir" dans le tableau ci-dessous) en témoignant, ils peuvent être libérés et n'auront pas à purger une peine de prison.

Toutefois, les choses ne sont pas aussi simples. Si l'autre témoigne également, c'est-à-dire s'ils s'impliquent tous les deux, chacun devra purger une peine de 2 ans de prison. Si un seul témoigne et que l'autre se tait, celui qui ne témoigne pas (celui qui se tait) sera condamné à 4 ans de prison, tandis que celui qui témoigne sera libre. S'ils ne se trahissent pas l'un l'autre, c'est-à-dire s'ils restent silencieux et coopèrent ("coopérer" dans le tableau ci-dessous), ils ne peuvent pas être reconnus coupables du vol de banque et seront tous deux condamnés à un an de prison pour délit mineur.

Dans ce jeu à deux joueurs, chaque joueur a deux options : coopérer avec son complice et garder le silence, ou témoigner et trahir son complice. Les peines de prison représentent les gains de chaque décision et ces gains dépendent bien sûr du fait que chaque complice accepte la négociation proposée et témoigne, ou garde le silence et coopère. La matrice des gains suivante décrit les résultats possibles du jeu.

Quel est l'équilibre de ce jeu ? Pour répondre à cette question, nous devons d'abord trouver les meilleures réponses des deux joueurs. Supposons que le joueur 2 coopère et garde le silence. Dans ce cas, la meilleure option pour le joueur 1 est de trahir son partenaire, car il recevrait une peine de 0 an, au lieu de 1 an s'il gardait le silence. Supposons maintenant que le joueur 2 trahisse son partenaire. La meilleure réponse du joueur 1 est à nouveau de trahir son partenaire, car cela entraînerait une peine de 2 ans pour chacun d'eux, bien préférable aux 4 ans qu'il devrait purger s'il gardait le silence. Pour le joueur 2, la situation est identique (le jeu est symétrique), ce qui signifie que sa meilleure réponse est de trahir le joueur 1. Ainsi, dans l'unique équilibre de Nash de ce jeu, les deux prisonniers trahissent leur partenaire et acceptent la négociation que leur a proposé le procureur général. Comme ils s'impliquent mutuellement, chacun d'entre eux doit purger une peine de prison de deux ans.

Dans ce jeu, "trahir" est la stratégie dominante et "coopérer" est la stratégie dominée. Une stratégie est dominante si elle conduit à un gain plus élevé, quoi que fassent les autres joueurs. On dit qu'une stratégie est dominée si, en aucun cas, il est optimal pour un joueur de l'utiliser, c'est-à-dire qu'elle donne un gain inférieur à toute autre stratégie, quelles que soient les stratégies des autres joueurs. Dans le dilemme du prisonnier, il importe peu que le complice décide de garder le silence ou de trahir son partenaire. Dans les deux cas, l'autre joueur maximise ses gains en optant pour une trahison.

Ce résultat est intéressant dans la mesure où les deux prisonniers seraient mieux lotis s'ils coopéraient et gardaient le silence, car dans ce cas, chacun ne serait condamné qu'à un an. Cependant, étant donné que nos joueurs sont totalement rationnels et ne pensent qu'à maximiser leur propre gain (ou utilité), ce résultat ne peut être atteint. Même si le complice garde le silence, chaque prisonnier est incité à dévier et à trahir son partenaire pour réduire sa peine.

De nombreuses recherches en théorie des jeux se sont concentrées sur la recherche de moyens permettant d'établir une coopération dans le dilemme du prisonnier. Une façon de sortir de ce dilemme est de considérer un jeu répété dans lequel les joueurs ne se rencontrent pas qu'une seule fois, mais où il y a plusieurs tours. Dans le dilemme du prisonnier répété où le tour final n'est pas spécifié, trahir un complice aura un impact négatif sur la réputation du criminel et rendra la coopération future plus difficile. Par exemple, si les criminels impliqués font partie d'un gang, s'affranchir en trahissant un autre membre du gang peut ne plus être une stratégie dominante compte tenu des conséquences futures. Les stratégies possibles dans le dilemme du prisonnier répété ou itéré comprennent les stratégies du type "tit-for-tat" (peut se traduire en “représailles équivalentes” en français) et "grim-trigger" (peut se traduire en “stratégie du déclenchement sinistre” en français). Si les joueurs adoptent une stratégie de type "grim-trigger", ils commencent par coopérer au premier tour de jeu, puis coopèrent jusqu'à ce qu'un joueur commette une trahison. Si un joueur trahit, tous les joueurs prendront la décision de trahir à partir de ce moment-là. En suivant cette stratégie, la coopération peut être maintenue tant que les joueurs se soucient suffisamment de l'avenir. Si les joueurs jouent au chat et à la souris, ils commencent également par coopérer. Un joueur coopère si l'autre joueur a coopéré dans la période précédente et décide de trahir si l'autre joueur l’a trahis dans la période précédente.

En savoir plus

En théorie, la coopération n'est pas possible si les joueurs savent exactement combien de tours seront joués, car tout le monde voudra commettre une trahison au dernier tour et, par induction inverse, cela signifie également que tous les joueurs décideront de trahir aux autres périodes. Au cours d’une expérimentation, on peut observer que la coopération se produit et ce même dans le dilemme du prisonnier répété de manière finie. Embrey et al. (The Quarterly Journal of Economics, 2018) montrent que, lorsqu’il s’agit expérimentation, un joueur coopère tant que les autres coopèrent jusqu'à un certain tour seuil. Plus les joueurs sont expérimentés, c'est-à-dire plus ils ont déjà joué souvent au jeu, plus ils commencent à trahir tôt.

Bon à savoir

La théorie des jeux en général et le dilemme du prisonnier plus spécifiquement ont été utilisés dans les années 1950 et 1960 pour analyser les conflits pendant la période de la guerre froide. Les États-Unis et l'URSS étaient les deux joueurs, qui pouvaient choisir entre ne pas attaquer l'autre nation (coopérer) et être le premier à frapper (trahir). Le fait que le conflit n'ait jamais dégénéré peut s'expliquer (partiellement) par les conséquences négatives qu'une attaque aurait eues sur une éventuelle coopération future, car aucune des deux parties ne souhaitait déclencher une guerre.