bene omogeneo e competono sui prezzi. Teoricamente, questa concorrenza sui prezzi, ammesso che i beni siano perfetti sostituti, finisce con le imprese che vendono i loro beni ai costi marginali e quindi realizzano zero profitti. Il risultato è anche chiamato “paradosso di Bertrand”, dal nome dell'economista Joseph Bertrand (1822–1900).

Presupposti del modello

Il modello di Bertrand rappresenta la concorrenza sui prezzi in un mercato oligopolistico in cui due o più imprese producono un bene omogeneo. Diamo un rapido sguardo alle principali premesse del modello:

• Bene omogeneo: i beni prodotti e venduti dalle imprese concorrenti sono completamente identici agli occhi dei consumatori. I consumatori non hanno preferenze per nessuna delle due imprese, quindi acquistano dall'impresa che offre il bene a un prezzo inferiore.
• Concorrenza sui prezzi: in contrasto con il modello di Cournot o il duopolio di Stackelberg, le imprese non competono nelle quantità, ma nei prezzi. Ciò significa che ogni impresa fissa il prezzo del proprio prodotto con l'obiettivo di massimizzare i propri profitti (e naturalmente tenendo conto dei prezzi fissati dalle imprese concorrenti).

Un esempio standard per capire il modello di concorrenza di Bertrand è il mercato della benzina. Le stazioni di servizio comunicano il prezzo al litro, e i consumatori (automobilisti) decidono in quale stazione di servizio rifornire la loro auto. Dato che la benzina è un bene omogeneo, la maggior parte dei consumatori opterà per la stazione di servizio con il prezzo più basso.

L’equilibrio di Bertrand-Nash 

Nell'unico equilibrio di Nash del gioco, le imprese fissano i loro prezzi pari ai costi marginali e non realizzano alcun profitto. Cerchiamo di capirne il motivo. Supponiamo che ci siano due imprese che producono un bene omogeneo a costi marginali costanti indicati con \(c\) e competono fissando i prezzi simultaneamente. I consumatori acquistano dall'impresa che applica il prezzo più basso, perché percepiscono i beni venduti dalle due imprese come perfetti sostituti. Assumiamo che la domanda si divida equamente se le imprese applicano lo stesso prezzo. Il profitto dell'impresa \(i\) è dato da \(\pi_{i}=(p_{i}-c)D_{i}(p_{i},p_{j})\) se non ci sono costi fissi, laddove \(D_{i}(p_{i},p_{j})\) è la domanda affrontata dall'impresa \(i\) se l'impresa \(i\) applica il prezzo \(p_{i}\) e l'impresa \(j\) applica il prezzo \(p_{j}\). La domanda \(D_{i}(p_{i},p_{j})\) affrontata dall'impresa \(i\) dipende dai prezzi di entrambe le imprese: 1. Se l'impresa \(i\) applica un prezzo più alto dell'impresa \(j\) (\(p_{i}>p_{j}\)) tutti i consumatori comprano dall'impresa \(j\); l'impresa \(i\) non ha domanda e ottiene un profitto pari a zero. 2. Se l'impresa \(j\) applica un prezzo più alto dell'impresa \(i\) (\(p_{j}>p_{i}\)) tutti i consumatori acquistano dall'impresa \(i\) e l'impresa \(i\) realizza un profitto di \(\pi_{i}=(p_{i}-c)D(p_{i})\). 3. Se le imprese \(i\) e \(j\) applicano lo stesso prezzo (\(p_{i}=p_{j}\)) la domanda si divide equamente e l'impresa \(i\) realizza un profitto di \(\pi_{i}=(p_{i}-c)\frac{1}{2}D(p_{i})\).

Allora perché le imprese fissano i prezzi ai costi marginali in equilibrio? Per capirlo, supponiamo che due imprese, chiamiamole Airbus (impresa \(A\)) e Boeing (impresa \(B\)) producano lo stesso aereo passeggeri a costi marginali pari a 10 (milioni) di dollari. I clienti comprano dall'impresa che applica il prezzo più basso. Diciamo che Boeing applica un prezzo superiore ai costi marginali, per esempio 50 milioni per aereo (\(p_{B}=50\)): ora Airbus ha tre opzioni. Può applicare lo stesso prezzo, un prezzo più alto o un prezzo più basso. È chiaro che un prezzo più alto non avrebbe molto senso, perché tutti i clienti continuerebbero a preferire la ditta \(B\). Fissare lo stesso prezzo significa che le due imprese si dividono equamente la domanda e ogni impresa realizza un profitto pari a \(\pi_{i}=\frac{(p-c)D(p_{i})}{2}=20D(p)\). Se l'impresa \(A\) applica un prezzo inferiore a \(p_{B}\), il prezzo più elevato che può applicare per ottenere tutti i clienti è un prezzo di poco inferiore a quello dell'impresa \(B\), cioè 49,99 milioni di dollari. A questo punto Airbus ottiene l'intera domanda e realizza un profitto di \(\pi_{A}=39.99D(p_{A})\). Questo profitto è più elevato del profitto condiviso a parità di prezzo se l'impresa \(A\) applica un prezzo solo leggermente inferiore a quello dell'impresa \(B\). Ovviamente, però, se Airbus applica un prezzo leggermente inferiore a quello di Boeing, allora Boeing non avrà domanda e otterrà un profitto pari a zero. Facendo un prezzo leggermente più basso di Airbus può ottenere l'intera domanda e realizzare un profitto positivo. In altre parole, ogni impresa vuole abbassare il prezzo del rivale per ottenere l'intera domanda del mercato. L'incentivo a ridurre i prezzi rispetto ai concorrenti scompare solo quando far pagare un prezzo più basso non aumenta i profitti, il che accade ad un prezzo uguale ai costi marginali. Se il concorrente fissa i prezzi ai costi marginali, non ha senso per l'altra impresa applicare un prezzo più alto o più basso. (Ad un prezzo più alto, l'impresa non ha clienti; ad un prezzo inferiore ai costi marginali l'impresa è in perdita). Questo risultato è indipendente dal numero di imprese, il che significa che anche se ci sono solo due imprese nel mercato i prezzi sono uguali ai costi marginali e i profitti sono zero (come nella concorrenza perfetta).

Diamo un'occhiata alle migliori funzioni di risposta delle imprese simmetriche in un gioco di Bertrand come mostrato nella figura qui sotto. La linea blu è la migliore funzione di risposta dell'impresa 2 per un dato prezzo \(p_{1}\) e la linea verde è la migliore funzione di risposta dell'impresa \(1\); \(p_{M}\) denota il prezzo di monopolio. Se guardate attentamente, vedrete che la linea verde è leggermente sotto la linea a 45 gradi (nei punti sulla linea a 45 gradi entrambe le imprese applicano lo stesso prezzo) se il prezzo dell'impresa 2 è sopra i costi marginali e sotto il prezzo di monopolio. Per qualsiasi prezzo applicato dall'impresa 2 in questo intervallo, l'impresa 1 applicherà un prezzo leggermente inferiore. Lo stesso vale per l'impresa 2, naturalmente. Le migliori funzioni di risposta sono inclinate verso l'alto perché ad un prezzo più alto del concorrente ogni impresa si farà pagare un prezzo più alto. L'intersezione delle due linee (il punto rosso) rappresenta l'unico equilibrio di Nash del gioco. C'è solo un punto in cui le imprese stanno giocando la migliore risposta reciproca e nessuna impresa ha un incentivo a deviare dato il prezzo scelto dal concorrente. Come possiamo vedere nella figura, questo è il punto in cui il prezzo è uguale ai costi marginali.

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Altre letture 

Quando le imprese non hanno la stessa efficienza (cioè un'impresa ha costi marginali più bassi delle altre imprese), allora l'impresa con il costo marginale più basso otterrà l'intera domanda e otterrà un profitto positivo. Spulber dimostra in "Bertrand competition when rivals’ costs are unknown" (The Journal of Industrial Economics, 1995) che entrambe le imprese fissano i prezzi al di sopra dei costi marginali e ottengono profitti positivi se le imprese non conoscono la funzione di costo del concorrente. 

Buono a sapersi 

Nei mercati del mondo reale le imprese di solito realizzano profitti positivi. Perché? Prima di tutto, le imprese raramente offrono beni perfettamente omogenei. Anche se il bene fisico che due imprese vendono può essere lo stesso, i beni prodotti o venduti da imprese diverse non sono percepiti come identici (sostituti perfetti) dai consumatori. I consumatori possono scegliere di acquistare il bene da una particolare impresa per una varietà di ragioni diverse, per esempio perché l'ubicazione del negozio è più conveniente o perché con il bene vengono offerti servizi diversi. In secondo luogo, nel classico gioco di Bertrand le imprese interagiscono solo una volta. Nei mercati del mondo reale, invece, le stesse imprese competono ripetutamente giorno dopo giorno e possono cooperare per mantenere i prezzi al di sopra dei costi marginali (vedi anche Collusione). In terzo luogo, le imprese possono essere vincolate alla capacità, il che significa che potrebbero non essere in grado di servire l'intero mercato. Di conseguenza, l'impresa che applica il prezzo più alto non perderà tutti i clienti a favore del concorrente e otterrà un profitto positivo anche se applica un prezzo superiore ai costi marginali.