Das Nash-Gleichgewicht ist ein wichtiges Gleichgewichts- oder Lösungskonzept in der nicht-kooperativen Spieltheorie. Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategieprofil (d. h. eine Strategie für jeden Spieler), bei dem jeder Spieler die beste Antwort auf die Strategie des/der anderen spielt. Einfacher ausgedrückt beschreibt ein Nash-Gleichgewicht eine Situation, in der jede Person in Anbetracht der Handlungen der anderen optimal handelt, so dass niemand seine oder ihre Handlung ändern möchte. Das Konzept ist nach dem amerikanischen Mathematiker John Nash (1928-2005) benannt, der das Konzept in den 1950er Jahren formell entwickelte.

In vielen Situationen, in denen wir mit verschiedenen alternativen Optionen konfrontiert werden und uns für eine entscheiden müssen, hängt die Auszahlung (oder der Nutzen), die wir aus jeder Option erhalten, nicht nur von unserer eigenen Entscheidung ab, sondern auch von den Entscheidungen anderer. Wenn ich zum Beispiel entweder mit dem Auto oder mit der U-Bahn zur Arbeit fahren kann, hängt die Bequemlichkeit der Autofahrt vom Verkehr ab, und das bedeutet, dass sie davon abhängt, wie viele andere sich dafür entscheiden, mit dem Auto zur Arbeit zu fahren. Wann immer wir eine Situation analysieren, in der zwei oder mehr Entscheidungsträger (=Spieler) zwischen zwei oder mehr Optionen entscheiden und die Entscheidungen der Spieler auch die Auszahlungen der anderen Spieler beeinflussen, nennen wir diese Situation ein Spiel.

In einem Spiel berücksichtigt jeder Spieler nicht nur die unmittelbare Auswirkung seiner Entscheidung auf seine eigenen Gewinnchancen, sondern auch die Reaktion der anderen Spieler. Da wir davon ausgehen, dass die Spieler rational sind und ihr Ziel darin besteht, ihre eigene Auszahlung zu maximieren, wissen wir, dass jeder Spieler eine optimale Reaktion auf die Strategie der anderen Spieler spielen wird. Eine Aktion ist die beste Antwort, wenn sie dem Spieler eine höhere Auszahlung (oder zumindest die gleiche Auszahlung) bringt als die Auszahlung, die er durch die Wahl jeder anderen möglichen Aktion erhalten kann.

Das (Nash)-Gleichgewicht eines Spiels

In einer Situation, in der niemand einen Anreiz hat, seine Strategie in Anbetracht der Strategien der anderen zu ändern, d. h. wenn jeder eine optimale Antwort spielt, haben wir das Nash-Gleichgewicht des Spiels gefunden. Dies bedeutet, dass in einem Nash-Gleichgewicht die Handlungen der Spieler mit den Handlungen übereinstimmen, von denen die anderen glauben, dass sie sie ausführen werden. Da jeder richtig vorausgesehen hat, was die anderen tun werden, und jeder die beste Alternative angesichts der Strategien der anderen gewählt hat, kann niemand gewinnen, wenn er von seiner aktuellen Strategie abweicht. Mit anderen Worten: Jeder ist mit seiner Entscheidung zufrieden, die er angesichts der Entscheidungen der anderen getroffen hat.   

Ein Beispiel (Koordinationsspiel)

Lassen Sie uns das Konzept des Nash-Gleichgewichts anhand eines Beispiels betrachten. Nehmen wir an, es gibt zwei Freunde, nennen wir sie Alex und Blake, die beschließen, sich im Park zu treffen. Beide spielen gerne Basketball, aber keiner von ihnen möchte derjenige sein, der den Ball von zu Hause in den Park bringt. Jeder von ihnen kann zwischen zwei Möglichkeiten wählen - entweder einen Ball von zu Hause mitbringen oder keinen Ball mitbringen. Die Auszahlungen in diesem Spiel könnten wie folgt aussehen: Wenn niemand einen Ball mitbringt, erhält jeder eine Auszahlung von Null. Wenn beide einen Ball mitbringen, erhalten alle eine Auszahlung von 1; und wenn nur einer einen Ball mitbringt, erhält die Person, die den Ball mitbringt, eine Auszahlung von 1, während die andere Person eine Auszahlung von 2 erhält. Wir können die Aktionen und Auszahlungen in Form einer Auszahlungsmatrix aufschreiben:

In jeder der vier Zellen, die die Auszahlungen anzeigen, entspricht die Zahl vor dem Komma der Auszahlung von Spieler 1, in unserem Fall Alex, während die zweite Zahl die Auszahlung von Blake beschreibt. Das bedeutet, dass, wenn sowohl Alex als auch Blake einen Ball bringen, jeder eine Auszahlung von 1 erhält, und so weiter.

Nun wollen wir die Nash-Gleichgewichte dieses Spiels finden. Dazu prüfen wir, was die beste Reaktion von Alex auf jede Aktion von Blake ist. Wenn Blake einen Ball bringt, erhält Alex eine Auszahlung von 1, wenn er ebenfalls einen Ball bringt, und eine Auszahlung von 2, wenn er dies nicht tut. Seine beste Reaktion auf Blake, der den Ball bringt, ist also, keinen Ball zu bringen. Wenn Blake keinen Ball mitbringt, erhält Alex eine Auszahlung von 1, wenn er einen Ball mitbringt, und eine Auszahlung von Null, wenn er keinen Ball mitbringt. Seine beste Reaktion auf Blake, der keinen Ball mitbringt, ist also, einen Ball mitzubringen.

Nun können wir diese Übung wiederholen, um die besten Antworten von Blake zu finden, und wir sehen, dass er einen Ball bringen sollte, wenn Alex keinen bringt, und keinen bringen sollte, wenn Alex einen bringt. Das bedeutet, dass dieses Spiel zwei Nash-Gleichgewichte (in reinen Strategien) hat. Im ersten Nash-Gleichgewicht bringt Alex den Ball mit, im zweiten bringt Blake den Ball mit. Warum sind diese Aktionsprofile Nash-Gleichgewichte? Wenn Blake keinen Ball mitbringt und Alex einen Ball mitbringt, hat keiner der beiden einen Anreiz, seine Entscheidung angesichts der Entscheidung des anderen zu ändern. Das heißt, weil Blake den Ball nicht mitbringt, bringt Alex ihn selbst mit. Warum ist es kein Nash-Gleichgewicht, wenn beide einen Ball mitbringen? Wenn Alex weiß, dass Blake einen Ball mitbringt, ist es nicht in seinem Interesse, selbst einen Ball mitzubringen. Das bedeutet, dass er in dieser Situation gewinnen (seine Auszahlung erhöhen) kann, wenn er seine Strategie ändert.

Nash-Gleichgewicht mit gemischten Strategien

Das oben beschriebene Spiel wird als Koordinationsspiel bezeichnet und hat zwei reine Nash-Gleichgewichte. Ein Gleichgewicht mit gemischten Strategien ist ein Nash-Gleichgewicht, bei dem ein oder mehrere Spieler randomisieren, d. h., sie spielen jede Strategie mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit. Bei symmetrischen Spielen (wie dem oben beschriebenen), bei denen jeder Spieler die gleichen Handlungsmöglichkeiten und die gleichen Auszahlungen für jede Handlung hat, liegt der Schwerpunkt oft auf der Suche nach einem symmetrischen Gleichgewicht mit gemischten Strategien. In einem symmetrischen Nash-Gleichgewicht mit gemischten Strategien ordnet jeder Spieler einer bestimmten Aktion die gleiche Wahrscheinlichkeit zu.

Im symmetrischen gemischten Nash-Gleichgewicht des oben beschriebenen Spiels weist jeder Spieler jeder Strategie eine Wahrscheinlichkeit von ½ zu. Anders ausgedrückt: Wenn jeder von ihnen vor dem Verlassen des Hauses eine Münze wirft und einen Ball mitnimmt, wenn die Münze Kopf zeigt, und den Ball zu Hause lässt, wenn die Münze Zahl zeigt, wäre diese Strategie ein (symmetrisches gemischtes Strategie-)Nash-Gleichgewicht. In diesem Gleichgewicht ist es möglich, dass sie zwei Bälle haben, und es ist möglich, dass sie überhaupt keinen Ball haben, je nach dem Ergebnis der Münzwürfe. Wenn Alex jedoch weiß, dass Blake eine Münze werfen wird, um zu entscheiden, was zu tun ist, ist seine beste Reaktion, ebenfalls eine Münze zu werfen.  

Weitere Lektüre

Das Nash-Gleichgewicht ist nicht das einzige Lösungskonzept für nicht-kooperative Spiele. Je nachdem, über welche Informationen die Spieler verfügen, wie oft sie interagieren (d. h. wie viele Zeiträume) oder ob die Spieler ihre Handlungen gleichzeitig oder nacheinander wählen, gibt es unterschiedliche Lösungskonzepte. Viele dieser Lösungskonzepte sind Verfeinerungen des Nash-Gleichgewichts wie z. B. das Teilspielperfekte (Nash)-Gleichgewicht oder das Bayes'sche Nash-Gleichgewicht (siehe z. B. "Game Theory: An Introduction" von Steven Tadelis, 2013).

Gut zu wissen.

Der Film "A beautiful mind" basiert auf dem Leben des amerikanischen Mathematikers John Nash, der an Schizophrenie litt. Seine Dissertation über nicht-kooperative Spiele, mit der er an der Universität von Princeton promoviert wurde, war nur 20 Seiten lang.