El equilibrio de Nash es un equilibrio o concepto de solución importante en la teoría de juegos no cooperativa, Un equilibrio de Nash es un perfil de estrategia (p.ej. una estrategia para cada jugador) en el cual cada jugador juega una mejor respuesta a la estrategia del otro(s). De forma más simple, un equilibrio de Nash describe una situación en la cual cada persona actúa óptimamente dadas las acciones de los demás, de manera que nadie quiere cambiar su acción. El concepto toma su nombre del matemático americano John Nash (1928-2005) quien desarrolló el concepto formalmente en los años 50. 

En muchas situaciones cuando nos enfrentamos a diferentes opciones alternativas y tenemos que decidir cuál elegir, el beneficio (o utilidad) que obtenemos de cada opción no depende solamente de nuestra propia decisión, sino también de las decisiones de los demás. Por ejemplo, si puedo viajar al trabajo tanto en coche como en metro, la comodidad del viaje en coche depende el tráfico y ésto significa que depende de cuántos otros decidan viajar en coche. Siempre que analizamos una situación donde dos o más personas que toman decisiones (=jugadores) deciden entre dos o más opciones, y las decisiones de los jugadores también afectan a los beneficios de cada uno, entonces a esta situación la llamamos como juego.  

En un juego cada jugador no tiene en cuenta solamente el efecto inmediato de su decisión en sus propios beneficios, sino también cómo reaccionarán los demás jugadores. Dado que asumimos que los jugadores son racionales y su objetivo es maximizar su propio beneficio, sabemos que cada jugador jugará una mejor respuesta a la estrategia de los demás. Una acción es una mejor respuesta si le da al jugador un mayor beneficio (o al menos el mismo beneficio) que el beneficio que él o ella puede obtener si elige cualquier otra acción posible. 

El equilibrio (de Nash) de un juego 

En una situación donde nadie tiene incentivos para cambiar su estrategia dadas las estrategias de los demás, p.ej., cuando todo el mundo juega una mejor respuesta, encontramos el equilibrio de Nash del juego. Ésto implica que en un equilibrio de Nash las acciones que las personas toman coinciden con las acciones que los demás piensan que tomarán. Dado que todo el mundo se anticipó correctamente a lo que los demás iban a hacer y todos eligieron la mejor alternativa dadas las estrategias de los demás, nadie puede ganar desviándose de su estrategia actual. En otras palabras, todos están felices con la decisión que él o ella tomó dadas las decisiones de los demás. 

Un ejemplo (juego de coordinación)

Vamos a considerar el concepto del equilibrio de Nash con la ayuda de un ejemplo. Supongamos que hay dos amigos, llamémosles Alex y Blake, quienes deciden quedar en el parque. Ambos se divierten jugando al baloncesto, pero ninguno de ellos quiere ser el que lleve el balón de casa al parque. Cada uno de ellos puede elegir entre dos opciones - llevar un balón de casa o no llevarlo. Los beneficios en este juego podrían ser los siguientes: Si nadie lleva un balón todos reciben un beneficio de cero; Si ambos llevan un balón, entonces todos obtienen un beneficio de 1; Y si solamente uno lleva un balón, la persona que lleva el balón obtiene un beneficio de 1, mientras que el otro obtiene un beneficio de 2. Podemos escribir las acciones y los beneficios en forma de una matriz de beneficios:

En cada una de las cuatro celdas que muestran los beneficios, el número anterior a la coma corresponde al beneficio del jugador 1, en nuestro caso Alex, mientras que el segundo número describe el beneficio de Blake. Ésto significa que, si tanto Alex como Blake llevan un balón, todos obtienen un beneficio de 1, y así sucesivamente. 

Ahora tratemos de encontrar el equilibrio de Nash de este juego. Para poder hacerlo, comprobamos cuál es la mejor respuesta de Alex ante cualquier acción de Blake. Si Blake lleva un balón entonces Alex obtiene un beneficio de 1 si él también lleva un balón y un beneficio de 2 si no lo hace. Por consiguiente, su mejor respuesta a que Blake lleve el balón es no llevar un balón. Si Blake no lleva un balón, Alex obtiene un beneficio de 1 si él lleva uno y un beneficio de cero si no lo hace. Por lo tanto, su mejor respuesta a que Blake no lleve un balón es llevar uno. 

Ahora podemos repetir este ejercicio para encontrar las mejores respuestas de Blake y vemos que éste llevaría un balón si Alex no llevase y que no debería de llevar uno si Alex lo llevara. Ésto significa que este juego tiene dos equilibrios de Nash (en estrategias puras). En el primer equilibrio de Nash, Alex lleva el balón y en el segundo Blake lleva el balón. ¿Por qué son estos perfiles de acción equilibrios de Nash? Porque cuando Blake no lleva un balón y Alex sí, ninguno está incentivado a cambiar su decisión dada la decisión del otro.  Ésto ocurre, porque si Blake no lleva el balón, Alex lo lleva él mismo. ¿Por qué el hecho de que ambos lleven un balón no es un equilibrio de Nash? Porque si Alex sabe que Blake lleva un balón, no es de su interés llevar uno él mismo. Ésto significa que en esta situación él puede ganar (aumentar su beneficio) cambiando su estrategia. 

Equilibrio de Nash de estrategia mixta 

El juego descrito más arriba es llamado juego de coordinación y tiene dos equilibrios de Nash puros. Un equilibrio de Nash de estrategia mixta es un equilibrio de Nash en el cual uno o más jugadores aleatorizan, lo que significa que juegan cada estrategia con alguna probabilidad. En juegos simétricos (al igual que el descrito más arriba) donde cada jugador tiene las mismas acciones posibles y los mismos beneficios asociados a cada acción, el enfoque suele ser encontrar el equilibrio de estrategia mixta simétrica. En un equilibrio de Nash de estrategia mixta simétrica cada jugador asigna la misma probabilidad a una acción en particular.

Para el equilibrio de Nash de estrategia mixta simétrica del juego descrito más arriba, cada jugador asigna una probabilidad de ½ a cada estrategia. Dicho de otra manera, si cada uno de ellos lanza una moneda antes de irse y coge el balón si la moneda cae cara y deja el balón en casa si la moneda cae cruz, esta estrategia sería un (de estrategia mixta simétrica) equilibrio de Nash. Date de cuenta de que en este equilibrio es posible que tengan 2 balones y es posible que no tengan balón en absoluto dependiendo del resultado de los lanzamientos de la moneda. Además, si Alex sabe que Blake lanzará una moneda para decidir qué hacer, su mejor respuesta es lanzar una moneda al igual que él. 

Lecturas adicionales

El equilibrio de Nash no es el único concepto de solución para juegos no cooperativos. Dependiendo de la información que tengan los jugadores, con qué frecuencia interactúen (p.ej. cuántos períodos en el tiempo) o si los jugadores eligen sus acciones simultáneamente o de manera secuencial, existen distintos conceptos de solución. Muchos de estos conceptos de solución son refinamientos del equilibrio de Nash como p.ej. el equilibrio (de Nash) Perfecto en Subjuegos o el equilibrio de Nash Bayesiano (ver p.ej. “Game Theory: An Introduction” por Steven Tadelis, 2013)

Conviene saber

La película “Una mente maravillosa” se basa en la vida del matemático americano John Nash, quien sufría esquizofrenia. Su disertación sobre juegos no cooperativos con la cual obtuvo su doctorado por la Universidad de Princeton solamente tenía 20 páginas de largo.