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L’equilibrio di Nash

L'equilibrio di Nash è un importante concetto di equilibrio o soluzione nella teoria dei giochi. non cooperativi. Un equilibrio di Nash è un profilo di strategia (cioè una strategia per ogni giocatore) in cui ogni giocatore risponde in modo ottimale alla strategia degli altri. Più semplicemente, un equilibrio di Nash descrive una situazione in cui ogni persona agisce in modo ottimale date le azioni degli altri, così che nessuno vuole cambiare la sua azione. Il concetto prende il nome dal matematico americano John Nash (1928-2005) che lo sviluppò formalmente negli anni '50.

In molte situazioni, quando ci troviamo di fronte a diverse opzioni e dobbiamo decidere quale scegliere, il payoff (o utilità) che otteniamo da ogni opzione non dipende solo dalla nostra decisione, ma anche dalle decisioni degli altri. Per esempio, se posso andare al lavoro in macchina o in metropolitana, la comodità del viaggio in macchina dipende dal traffico e questo significa che dipende da quanti altri decidono di andare in macchina. Ogni volta che analizziamo una situazione in cui due o più decisori (=giocatori) decidono tra due o più opzioni, e le decisioni dei giocatori influenzano anche i payoff degli altri, allora chiamiamo questa situazione un gioco.

In un gioco ogni giocatore non tiene conto solo dell'effetto immediato della sua decisione sui propri payoff, ma anche di come reagiranno gli altri giocatori. Dato che assumiamo che i giocatori siano razionali e che il loro obiettivo sia quello di massimizzare il proprio payoff, sappiamo che ogni giocatore giocherà la risposta ottima alla strategia degli altri. Un'azione è una risposta ottima se dà al giocatore un payoff più alto (o almeno lo stesso payoff) del payoff che può ottenere scegliendo qualsiasi altra azione possibile.

L’equilibrio (di Nash) di un gioco

In una situazione in cui nessuno ha un incentivo a cambiare la propria strategia date le strategie degli altri, cioè quando tutti giocano una risposta ottima, possiamo trovare l'equilibrio di Nash del gioco. Questo implica che in un equilibrio di Nash le azioni che le persone compiono coincidono con le azioni che gli altri pensano che compiranno. Dato che ognuno ha previsto correttamente cosa faranno gli altri e ognuno ha scelto l'alternativa migliore date le strategie degli altri, nessuno può guadagnare deviando dalla propria strategia attuale. In altre parole, ognuno è contento della decisione che ha preso date le decisioni degli altri.   

Un esempio (gioco di coordinamento)

Esaminiamo il concetto di equilibrio di Nash con l'aiuto di un esempio. Supponiamo che ci siano due amici, chiamiamoli Alex e Blake, che decidono di incontrarsi al parco. Ad entrambi piace giocare a basket, ma nessuno dei due vuole essere quello che porta la palla da casa al parco. Ciascuno di loro può scegliere tra due opzioni: portare una palla da casa o non portare una palla. Il payoff in questo gioco potrebbe essere il seguente: Se nessuno porta una palla, tutti ricevono un payoff di zero. Se entrambi portano una palla, allora tutti ricevono un payoff di 1; e se solo uno porta una palla, la persona che porta la palla riceve un payoff di 1, mentre l'altro riceve un payoff di 2. Possiamo trascrivere le azioni e i payoff in forma di matrice di payoff:

Nash Equilibrium

In ciascuna delle quattro celle che mostrano i payoff, il numero prima della virgola corrisponde al payoff del giocatore 1, nel nostro caso Alex, mentre il secondo numero descrive il payoff di Blake. Questo significa che se sia Alex che Blake portano una palla entrambi ottengono un payoff di 1, e così via.

Ora troviamo gli equilibri di Nash di questo gioco. Per farlo, controlliamo qual è la migliore risposta di Alex per qualsiasi azione di Blake. Se Blake porta una palla, Alex ottiene un payoff di 1 se anche lui porta una palla e un payoff di 2 se non lo fa. Di conseguenza, la sua migliore risposta a Blake che porta la palla è di non portare la palla. Se Blake non porta una palla, Alex ottiene un payoff di 1 se ne porta una e un payoff di zero se non lo fa. Quindi, la sua migliore risposta a Blake che non porta una palla è quella di portare una palla.

Ora possiamo ripetere questo esercizio per trovare le migliori risposte di Blake, e vediamo che dovrebbe portare una palla se Alex non lo fa e non dovrebbe portarne una se Alex la porta. Ciò significa che questo gioco ha due equilibri di Nash (in strategie pure). Nel primo equilibrio di Nash, Alex porta la palla e nel secondo Blake porta la palla. Perché questi profili di azione sono equilibri di Nash? Perché quando Blake non porta la palla e Alex sì, nessuno dei due è incentivato a cambiare la propria decisione data la decisione dell'altro. Cioè, poiché Blake non porta la palla, Alex la porta da solo. Perché se entrambi portano una palla non è un equilibrio di Nash? Perché se Alex sa che Blake porta una palla, non è nel suo interesse portarne una lui stesso. Questo significa che in questa situazione può guadagnare (aumentare il suo payoff) cambiando la sua strategia.

Equilibrio di Nash con strategia mista

Il gioco descritto sopra è chiamato gioco di coordinamento e ha due equilibri di Nash puri. Un equilibrio a strategia mista è un equilibrio di Nash in cui uno o più giocatori randomizzano, cioè giocano ogni strategia con una certa probabilità. Nei giochi simmetrici (come quello descritto sopra) in cui ogni giocatore ha le stesse azioni possibili e gli stessi payoff associati ad ogni azione, l'obiettivo è spesso quello di trovare l'equilibrio simmetrico a strategia mista. In un equilibrio di Nash simmetrico a strategia mista ogni giocatore assegna la stessa probabilità a una particolare azione.

Per l'equilibrio di Nash simmetrico a strategia mista del gioco descritto sopra, ogni giocatore assegna una probabilità di ½ ad ogni strategia. In altre parole, se ogni giocatore lancia una moneta prima di uscire e prende una palla se la moneta mostra testa e lascia la palla a casa se la moneta mostra croce, questa strategia sarebbe un equilibrio di Nash (simmetrico a strategia mista). Si noti che in questo equilibrio è possibile che i giocatori abbiano 2 palle ed è possibile che non abbiano nessuna palla, a seconda del risultato del lancio della moneta. Tuttavia, se Alex sa che Blake lancerà una moneta per decidere cosa fare, la sua migliore risposta sarà di lanciare anche lui una moneta.  

Altre letture

L'equilibrio di Nash non è l'unico concetto di soluzione per i giochi non cooperativi. A seconda delle informazioni che i giocatori hanno, quanto spesso interagiscono (cioè quanti periodi di tempo) o se i giocatori scelgono le loro azioni simultaneamente o sequenzialmente, esistono diversi concetti di soluzione. Molti di questi concetti di soluzione sono raffinamenti dell'equilibrio di Nash, come ad esempio l'equilibrio perfetto nei sottogiochi (Nash) o l'equilibrio di Nash bayesiano (vedi ad esempio "Game Theory: An Introduction" di Steven Tadelis, 2013)

Buono a sapersi

Il film "A beautiful mind" è basato sulla vita del matematico americano John Nash, che soffriva di schizofrenia. La sua dissertazione sui giochi non cooperativi per la quale ottenne il dottorato all'Università di Princeton era lunga solo 20 pagine.