L’équilibre de Nash est un concept d'équilibre ou de solution dans la théorie des jeux non coopératifs. Un équilibre de Nash est un profil stratégique (autrement dit, chaque joueur a une stratégie) dans lequel chaque joueur joue la meilleure réponse à la stratégie de l'autre ou des autres. Plus simplement, un équilibre de Nash décrit une situation dans laquelle chaque personne agit de manière optimale compte tenu des actions des autres, de sorte que personne ne souhaite modifier son action. Le concept doit son nom au mathématicien américain John Nash (1928-2005), qui l'a formellement développé dans les années 1950.

Dans de nombreuses situations, lorsque nous sommes confrontés à différentes options et que nous devons décider laquelle choisir, le gain (ou l'utilité) que nous obtenons de chaque option ne dépend pas seulement de notre propre décision, mais aussi des décisions des autres. Par exemple, si je peux me rendre au travail en voiture ou en métro, le confort du trajet en voiture dépend de la circulation, c'est-à-dire du nombre de personnes qui décident de s'y rendre en voiture. Chaque fois que nous analysons une situation dans laquelle deux ou plusieurs décideurs (ou joueurs) décident entre deux ou plusieurs options, et que les décisions des joueurs affectent également les gains des autres, nous appelons cette situation : un jeu.

Dans un jeu, chaque joueur ne prend pas seulement en compte l'effet direct de sa décision sur ses propres gains, mais aussi la réaction des autres joueurs. Si nous supposons que tous les joueurs sont rationnels et que leur objectif est de maximiser leur propre gain, nous savons que chaque joueur va jouer une meilleure réponse à la stratégie des autres. Une action est une meilleure réponse si elle donne au joueur un gain plus élevé (ou au moins le même gain) que le gain qu'il ou elle aurait obtenu en choisissant toute autre action possible.

L’équilibre (de Nash) d'un jeu

Dans une situation où personne n'a intérêt à changer sa stratégie compte tenu des stratégies des autres, c'est-à-dire lorsque tout le monde joue la meilleure réponse, vous avez trouvé l'équilibre de Nash du jeu. Cela implique que, dans un équilibre de Nash, les actions que les gens prennent coïncident avec les actions que les autres pensent qu'ils vont prendre. Étant donné que chacun a correctement anticipé ce que les autres feront et que chacun a choisi la meilleure alternative compte tenu des stratégies des autres, personne ne peut gagner en déviant de sa stratégie actuelle. En d'autres termes, chacun est satisfait de la décision qu'il a prise compte tenu des décisions des autres.   

Un exemple: un jeu de coordination

Examinons le concept d'équilibre de Nash à l'aide d'un exemple. Supposons que deux amis, appelés Alex et Blake, décident de se retrouver dans un parc. Ils aiment tous les deux jouer au basket, mais aucun d'entre eux ne veut être celui qui apportera le ballon. Ils ont tous les deux le choix entre deux options : apporter un ballon ou ne pas apporter de ballon. Les gains dans ce jeu pourraient être les suivants : si personne n'apporte de ballon, tout le monde reçoit un gain de zéro ; si les deux personnes apportent un ballon, tout le monde reçoit un gain de 1 ; et, si une seule personne apporte un ballon, celle qui l’apporte reçoit un gain de 1, tandis que l'autre reçoit un gain de 2. Nous pouvons écrire les actions et les gains sous la forme d'une matrice de gains :

Dans chacune des quatre cellules affichant les gains, le chiffre précédant la virgule correspond au gain du joueur 1, dans notre cas celui d’Alex, tandis que le second chiffre décrit le gain de Blake. Cela signifie que si Alex et Blake apportent tous les deux un ballon, chacun obtient un gain de 1, et ainsi de suite.

Trouvons maintenant les équilibres de Nash à ce jeu. Pour ce faire, nous vérifions quelle est la meilleure réponse d'Alex pour toute action de Blake. Ainsi, si Blake apporte un ballon, Alex obtient un gain de 1 s'il apporte aussi un ballon et un gain de 2 s'il ne le fait pas. Par conséquent, sa meilleure réponse au fait que Blake apporte le ballon est de ne pas apporter de ballon. Et, si Blake n'apporte pas de ballon, Alex obtient un gain de 1 s'il en apporte un et un gain de zéro s'il ne le fait pas. Par conséquent, sa meilleure réponse au fait que Blake n'apporte pas de ballon est d'apporter un ballon.

Nous pouvons maintenant répéter cet exercice pour trouver les meilleures réponses de Blake et nous voyons qu'il devrait apporter un ballon si Alex ne le fait pas et ne devrait pas en apporter une si Alex le fait. Cela signifie que ce jeu a deux équilibres de Nash (en stratégies pures). Dans le premier équilibre de Nash, Alex apporte le ballon et dans le second, Blake apporte le ballon. Pourquoi ces profils d'action sont-ils des équilibres de Nash ? Parce que lorsque Blake n'apporte pas de ballon et qu'Alex en apporte un, aucun des deux n'est incité à changer sa décision étant donné la décision de l'autre. Autrement dit, puisque Blake n'apporte pas le ballon, Alex l'apporte lui-même. Pourquoi le fait que les deux apportent un ballon n'est pas un équilibre de Nash ? Parce que si Alex sait que Blake apporte un ballon, il n'est pas dans son intérêt d'en apporter un lui-même et inversement. Cela signifie que dans cette situation, il peut gagner (augmenter son gain) en changeant de stratégie.

L’équilibre de Nash à stratégie mixte

Le jeu décrit ci-dessus est appelé un jeu de coordination et possède deux équilibres de Nash purs. Un équilibre à stratégies mixtes est un équilibre de Nash dans lequel un ou plusieurs joueurs jouent au hasard, autrement dit, ils jouent chaque stratégie avec une certaine probabilité. Dans les jeux symétriques (comme celui décrit ci-dessus) où chaque joueur a les mêmes actions possibles et les mêmes gains associés à chaque action, l'objectif est souvent de trouver l'équilibre symétrique à stratégie mixte. Dans un équilibre de Nash à stratégie mixte symétrique, chaque joueur attribue la même probabilité à une action particulière.

Pour l'équilibre de Nash à stratégie mixte symétrique du jeu décrit ci-dessus, chaque joueur attribue une probabilité de ½ à chaque stratégie. Autrement dit, si chacun d'entre eux tire à pile ou face avant de partir et prend un ballon si la pièce indique pile et ne le prend pas si la pièce indique face. Cette stratégie serait définie comme un équilibre de Nash (à stratégie mixte symétrique). Notons que, dans cet équilibre, il est possible qu'ils aient deux ballons et il est possible qu'ils n'en aient pas du tout, selon le résultat des tirages au sort. Pourtant, si Alex sait que Blake va tirer à pile ou face pour décider de ce qu'il va faire, sa meilleure réponse est de tirer également à pile ou face.

En savoir plus

L'équilibre de Nash n'est pas le seul concept de solution pour les jeux non coopératifs. Selon les informations dont disposent les joueurs, la fréquence de leurs interactions (c'est-à-dire le nombre de périodes de temps) ou du fait que les joueurs choisissent leurs actions simultanément ou séquentiellement, il existe différents concepts de solution. Beaucoup de ces concepts de solution sont des raffinements de l'équilibre de Nash, par exemple l'équilibre de Nash parfait ou l'équilibre de Nash bayésien. Nous vous conseillons de consulter l’ouvrage "Game Theory : An Introduction" (2013) par Steven Tadelis pour en savoir plus.

Bon à savoir

Le film "A beautiful mind" (“Un homme d'exception” en français) est basé sur la vie du mathématicien américain John Nash, qui souffrait de schizophrénie. Sa thèse sur les jeux non coopératifs, pour laquelle il a obtenu son doctorat à l'université de Princeton, ne comportait que 20 pages.