Le derivate delle funzioni sono calcolate utilizzando il calcolo differenziale. Esse sono ampiamente applicate nella simulazione economica per misurare gli effetti e i tassi di variazione delle variabili economiche, così come per determinare i valori massimi e minimi delle funzioni.

Consideriamo la seguente funzione di costo di produzione di un bene \[C\left(q\right)=k+aq^2\] dove \(k\) è il costo fisso, \(q\) è il numero di unità prodotte e \(a\) un parametro di costo variabile. \(C\left(q\right)\) rappresenta il costo di produzione totale per \(q\) unità del bene. Nel prendere la decisione su quanto del bene produrre, una impresa che massimizza il profitto sarà interessata al costo di produzione dell'ultima unità del bene (costo marginale) e mirerà a stabilire questo come uguale al ricavo extra dalla vendita di tale unità (ricavo marginale). Supponiamo che il ricavo (totale) della vendita di questo bene sia semplicemente il prezzo unitario \(p\) moltiplicato per la quantità venduta \[R\left(q\right)=pq.\] In tal caso, il profitto \(\pi\) sarà pari al rendimento meno il costo \[\pi\left(q\right)=R\left(q\right)-C\left(q\right).\]

Il massimo profitto si trova prendendo la prima derivata della funzione del profitto e impostandola a zero \[\begin{aligned} \frac{\partial\pi\left(q\right)}{\partial q}=\frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}-\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}&=0\\ \Leftrightarrow\ \ \ \frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}&=\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}\\ \Leftrightarrow\ \ \ p&=2aq\\ \Rightarrow\ \ \ q^{*}&=\frac{p}{2a}.\end{aligned}\] Poiché la prima derivata della funzione di profitto è pari a zero in questo punto, i profitti non sono né in crescita né in calo. Si può verificare che il punto è un massimo (e non un minimo) prendendo la seconda derivata della funzione di profitto \[\begin{aligned} \frac{\partial^{2}\pi\left(q\right)}{\partial q^{2}}&=\frac{\partial^{2}\left(pq-\left(k+aq^{2}\right)\right)}{\partial q^{2}}\\ &=-2a,\end{aligned}\] che è negativa per \(a\) positivo, ovvero il gradiente della funzione di profitto è in diminuzione in \(q\). Ciò significa che i profitti sono ancora in aumento al punto \(q<q^{*}\), ma scendono per \(q>q^{*}\) e, quindi, i profitti sono al livello più elevato al punto \(q=q^{*}\).

Questo esempio è rappresentato nel grafico seguente, dove viene mostrato come i profitti \(\pi\) siano massimizzati al punto \(q=q^{*}\) dove la prima derivata della funzione di rendimento (rendimento marginale) \(\frac{\partial R}{\partial q}\) è uguale alla prima derivata della funzione di costo (costo marginale) \(\frac{\partial C}{\partial q}\).L'esempio di cui sopra riguarda relazioni semplici, dirette e parziali tra quantità di produzione \(q\) e ricavi/costi/ profitti. Nella maggior parte delle situazioni reali i ricavi e i costi dipenderanno anche da altre variabili, per esempio lo sforzo di vendita \(e\) e le spese di marketing \(m\) per i ricavi, e il prezzo delle materie prime \(r\) e i salari \(w\) per il costo. Nella misura in cui queste altre variabili interagiscono con la quantità di produzione, può essere necessario calcolare il totale delle derivate delle funzioni di ricavo e di costo rispetto a \(q\) per determinare il livello ottimale della produzione,\[\begin{aligned} \frac{dR\left(q,e\left(q\right),m\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial e}\frac{de}{dq}+\frac{\partial R}{\partial m}\frac{dm}{dq};\\ \frac{dC\left(q,r\left(q\right),w\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial C}{\partial q}+\frac{\partial C}{\partial r}\frac{dr}{dq}+\frac{\partial C}{\partial w}\frac{dw}{dq}.\end{aligned}\] Il calcolo di queste derivate totali tiene conto di eventuali effetti indiretti della variazione della quantità di produzione sui ricavi e sui costi, dovuti a potenziali differenze nello sforzo di vendita, nelle spese di marketing, nel prezzo delle materie prime e nei salari indotti dalla variazione della quantità di produzione.

Altre letture

Hal Varian offre una semplice introduzione per gli economisti su come calcolare derivate di funzioni, sia totali che parziali, nell'appendice matematica del suo popolare libro di testo Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (vedi le sezioni dalla A10 alla A13 della nona edizione).

Buono a sapersi

Il più delle volte, quando gli economisti calcolano le derivate di funzioni, eseguono analisi ceteris-paribus. Prendere la derivata parziale di una funzione \(y=f\left(x_{1},\cdot\right)\) rispetto a \(x_{1}\) è essenzialmente come stimare l’effetto di \(x_{1}\) su \(y\) supponendo che tutto il resto rimanga uguale.