Les dérivées des fonctions sont calculées à l'aide de calculs différentiels. Ils sont largement appliqués dans la modélisation économique pour mesurer les effets et les taux de changement des variables économiques, ainsi que pour déterminer les valeurs maximales et minimales des fonctions.

Considérons la fonction de coût de production suivante pour un bien\[C\left(q\right)=k+aq^2\] où \(k\) est un coût fixe, \(q\) le nombre d'unités produites et \(a\) un paramètre à coût variable. \(C\left(q\right)\) représente le coût total de production pour \(q\) unités du bien. Lorsqu'elle décide de la quantité du bien à produire, une entreprise soucieuse de maximiser ses bénéfices s'intéressera au coût de production de la dernière unité du bien (coût marginal) et s'efforcera de le fixer à un montant égal au revenu supplémentaire tiré de la vente de cette unité (revenu marginal). Supposons que le revenu (total) de la vente de ce bien soit simplement le prix unitaire \(p\) multiplié par la quantité vendue \[R\left(q\right)=pq.\] Alors le profit \(\pi\) sera le revenu moins le coût \[\pi\left(q\right)=R\left(q\right)-C\left(q\right).\].

Le profit maximum est obtenu en prenant la première dérivée de la fonction de profit et en la fixant à zéro \[\begin{aligned} \frac{\partial\pi\left(q\right)}{\partial q}=\frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}-\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}&=0\\ \Leftrightarrow\ \ \ \frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}&=\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}\\ \Leftrightarrow\ \ \ p&=2aq\\ \Rightarrow\ \ \ q^{*}&=\frac{p}{2a}.\end{aligned}\]. Comme la première dérivée de la fonction de profit est nulle à ce point, les profits ne croissent ni ne diminuent. On peut vérifier que le point est un maximum (et non un minimum) en prenant la deuxième dérivée de la fonction de profit \[\begin{aligned} \frac{\partial^{2}\pi\left(q\right)}{\partial q^{2}}&=\frac{\partial^{2}\left(pq-\left(k+aq^{2}\right)\right)}{\partial q^{2}}\\ &=-2a,\end{aligned}\] qui est négatif pour positif \(a\), en d’autres termes le gradient de la fonction de profit diminue en \(q\). Cela signifie que les bénéfices continuent à augmenter à \(q<q^{*}\) mais diminuent à \(q>q^{*}\) et donc que les bénéfices sont au maximum à \(q=q^{*}\).

Cet exemple est représenté dans le graphique suivant où l'on montre comment les bénéfices \(\pi\) sont maximisés au point \(q=q^{*}\) où la première dérivée de la fonction de revenu (revenu marginal) \(\frac{\partial R}{\partial q}\) est égale à la première dérivée de la fonction de coût (coût marginal) \(\frac{\partial C}{\partial q}\).L'exemple ci-dessus implique des relations simples, directes et partielles entre la quantité produite \(q\) et les recettes/coûts/bénéfices. Dans la plupart des situations du monde réel, les recettes et les coûts dépendront également d'autres variables, par exemple l'effort de vente \(e\) et les dépenses de marketing \(m\) pour les recettes, ou le prix des matières premières \(r\) et les salaires \(w\) pour le coût. Dans la mesure où ces autres variables interagissent avec la quantité de production, il peut être nécessaire de calculer les dérivées totales des fonctions de revenu et de coût par rapport à \(q\) afin de déterminer le niveau optimal de production ,\[\begin{aligned} \frac{dR\left(q,e\left(q\right),m\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial e}\frac{de}{dq}+\frac{\partial R}{\partial m}\frac{dm}{dq};\\ \frac{dC\left(q,r\left(q\right),w\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial C}{\partial q}+\frac{\partial C}{\partial r}\frac{dr}{dq}+\frac{\partial C}{\partial w}\frac{dw}{dq}.\end{aligned}\]

Le calcul de ces dérivés totaux tient compte de tous les effets indirects de la modification de la quantité de production sur les recettes et les coûts qui découlent des différences potentielles dans l'effort de vente, les dépenses de marketing, le prix des matières premières et les salaires provoquées par la modification de la quantité de production.

En savoir plus

Hal Varian propose une introduction simple pour les économistes sur la façon de calculer les dérivées de fonctions, totales et partielles, dans l'annexe mathématique de son manuel “Intermediate Microeconomics : A Modern Approach” (voir les sections A10 à A13 de la neuvième édition).

Bon à savoir

Le plus souvent, lorsque les économistes calculent des dérivés de fonctions, ils effectuent une analyse ceteris paribus. Considérer la dérivée partielle d'une fonction \(y=f\left(x_{1},\cdot\right)\) par rapport à \(x_{1}\) revient essentiellement à estimer l'effet de \(x_{1}\) sur \(y\) tout en supposant que tout le reste demeure égal.