Economics Terms A-Z - Los t茅rminos m谩s importantes de econom铆a.

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Economics Terms A-Z

Derivadas de una funci贸n

Las derivadas de las funciones se computan usando c谩lculos diferenciales y son extensamente aplicadas en la modelizaci贸n econ贸mica para medir los efectos y los tipos de cambio en las variables econ贸micas, al igual que para determinar los valores m谩ximos y m铆nimos de las funciones. 

Considera la siguiente funci贸n de coste de producci贸n para un bien\[C\left(q\right)=k+aq^2\] donde \(k\) es un coste fijo, \(q\) el n煤mero de unidades producidas y \(a\) un par谩metro de coste variable. \(C\left(q\right)\) representa el coste de producci贸n total para \(q\) unidades del producto. A la hora de tomar la decisi贸n sobre cu谩nta cantidad del bien producir, una empresa maximizadora de beneficios se interesar谩 por el coste de producir la 煤ltima unidad del producto (coste marginal), con el objetivo de igualar 茅ste al ingreso adicional que resulta de vender esa unidad (ingreso marginal). Supongamos que el ingreso (total) de vender este producto es simplemente el precio unitario \(p\) multiplicado por la cantidad vendida\[R\left(q\right)=pq.\] Entonces el beneficio \(\pi\) ser谩 el ingreso menos el coste\[\pi\left(q\right)=R\left(q\right)-C\left(q\right).\]

El beneficio m谩ximo se encuentra tomando la primera derivada de la funci贸n del beneficio e igual谩ndola a cero\[\begin{aligned} \frac{\partial\pi\left(q\right)}{\partial q}=\frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}-\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}&=0\\ \Leftrightarrow\ \ \ \frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}&=\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}\\ \Leftrightarrow\ \ \ p&=2aq\\ \Rightarrow\ \ \ q^{*}&=\frac{p}{2a}.\end{aligned}\] Dado que la primera derivada de la funci贸n del beneficio es cero en este punto, los beneficios no est谩n ni creciendo ni disminuyendo. Se puede verificar que el punto es un m谩ximo (y no un m铆nimo) tomando la segunda derivada de la funci贸n del beneficio\[\begin{aligned} \frac{\partial^{2}\pi\left(q\right)}{\partial q^{2}}&=\frac{\partial^{2}\left(pq-\left(k+aq^{2}\right)\right)}{\partial q^{2}}\\ &=-2a,\end{aligned}\] la cual es negativa para una \(a\) positiva, i.e. el gradiente de la funci贸n del beneficio es decreciente en \(q\). 脡sto significa que los beneficios siguen creciendo en \(q<q^{*}\) aunque disminuyendo en \(q>q^{*}\) y por lo tanto los beneficios se encuentran al m谩ximo en \(q=q^{*}\).

Este ejemplo es representado en el siguiente gr谩fico donde se muestra c贸mo los beneficios \(\pi\) est谩n maximizados en el punto \(q=q^{*}\) donde la primera derivada de la funci贸n del ingreso (ingreso marginal) \(\frac{\partial R}{\partial q}\) es igual a la primera derivada de la funci贸n del coste (coste marginal) \(\frac{\partial C}{\partial q}\).

Derivatives of Function

El ejemplo de arriba implica relaciones simples, directas y parciales entre la cantidad del producto \(q\) y el ingreso/ coste/ beneficio. En la mayor铆a de las situaciones del mundo real el ingreso y el coste tambi茅n depender谩n de otras variables, por ejemplo, las fuerzas de ventas \(e\) y el gasto en marketing \(m\) para el ingreso, y el precio de las materias primas \(r\) y los salarios \(w\) para el coste. En la medida en que estas otras variables interact煤an con la cantidad de producci贸n puede que sea necesario calcular las derivadas totales de las funciones del ingreso y el coste con respecto a \(q\) para determinar el nivel 贸ptimo de producci贸n,\[\begin{aligned} \frac{dR\left(q,e\left(q\right),m\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial e}\frac{de}{dq}+\frac{\partial R}{\partial m}\frac{dm}{dq};\\ \frac{dC\left(q,r\left(q\right),w\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial C}{\partial q}+\frac{\partial C}{\partial r}\frac{dr}{dq}+\frac{\partial C}{\partial w}\frac{dw}{dq}.\end{aligned}\] Calcular estas derivadas totales toma en cuenta cualquier efecto indirecto en el ingreso y el coste por cambiar la cantidad de producci贸n que resultan de las diferencias potenciales en las fuerzas de ventas, el gasto en marketing, el precio de las materias primas y los salarios provocadas por el cambio en la cantidad de producci贸n.  

Lecturas adicionales

Hal Varian ofrece una introducci贸n sencilla para los economistas sobre c贸mo calcular derivadas de funciones, tanto totales como parciales, en el anexo matem谩tico de su popular libro de texto Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (see sections A10 to A13 of the ninth edition).

Conviene saber

En la mayor铆a de los casos, cuando los economistas calculan derivadas de una funci贸n est谩n llevando a cabo un an谩lisis ceteris-paribus. Tomar la derivada parcial de una funci贸n \(y=f\left(x_{1},\cdot\right)\) con respecto a \(x_{1}\) viene a ser estimar el efecto de \(x_{1}\) sobre \(y\) asumiendo que todo el resto se mantiene igual. 

 

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