Die Ableitungen von Funktionen werden mit Hilfe der Differentialrechnung berechnet. Sie werden in der ökonomischen Modellierung häufig eingesetzt, um die Auswirkungen und Änderungsraten ökonomischer Variablen zu messen sowie Maximal- und Minimalwerte von Funktionen zu bestimmen.

Betrachten wir die folgende Produktionskostenfunktion für eine Ware: [C\left(q\right)=k+aq^2\], wobei \(k\) ein Fixkostenfaktor, \(q\) die Anzahl der produzierten Einheiten und \(a\) ein variabler Kostenparameter ist. \(C\left(q\right)\) stellt die Gesamtkosten der Produktion für \(q\) Einheiten des Gutes dar. Bei der Entscheidung darüber, wie viel von dem Gut produziert werden soll, ist ein gewinnmaximierendes Unternehmen  an den Kosten für die Produktion der letzten Einheit des Gutes (Grenzkosten) interessiert und versucht, diese mit den zusätzlichen Einnahmen aus dem Verkauf dieser Einheit (Grenzerlös) gleichzusetzen. Angenommen, der (Gesamt-)Erlös aus dem Verkauf dieses Gutes ist einfach der Stückpreis \(p\) mal die verkaufte Menge\[R\left(q\right)=pq.\] Dann ist der Gewinn \(\pi\) der Erlös minus die Kosten\[\left(q\right)=R\left(q\right)-C\left(q\right).\]

Der maximale Gewinn wird ermittelt, indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion nimmt und sie gleich Null setzt\[\begin{aligned} \frac{\partial\pi\left(q\right)}{\partial q}=\frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}- \frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}&=0\\\ \Leftrightarrow\ \ \ \frac{\partial R\left(q\right)}{\partial q}&=\frac{\partial C\left(q\right)}{\partial q}\\ \Leftrightarrow\ \ \ p&=2aq\\ \Rightarrow\ \ q^{*}&=\frac{p}{2a}. \end{aligned}\] Da die erste Ableitung der Gewinnfunktion in diesem Punkt Null ist, steigen oder fallen die Gewinne nicht. Dass es sich bei diesem Punkt um ein Maximum (und nicht um ein Minimum) handelt, lässt sich anhand der zweiten Ableitung der Gewinnfunktion nachweisen\[\begin{aligned} \frac{\partial^{2}\pi\left(q\right)}{\partial q^{2}}&=\frac{\partial^{2}\left(pq-\left(k+aq^{2}\right)\right)}{\partial q^{2}}\\ &=-2a,\end{aligned}\], die für positive \(a\) negativ ist, d. h. die Steigung der Gewinnfunktion ist abnehmend in \(q\). Das bedeutet, dass die Gewinne bei \(q<q^{*}\) noch wachsen, aber bei \(q>q^{*}\) sinken und somit die Gewinne bei \(q=q^{*}\) ein Maximum erreichen.

Dieses Beispiel ist in der folgenden Grafik dargestellt, aus der hervorgeht, dass die Gewinne \(\pi\) im Punkt \(q=q^{*}\) maximiert werden, wo die erste Ableitung der Ertragsfunktion (Grenzertrag) \(\frac{\partial R}{\partial q}\) gleich der ersten Ableitung der Kostenfunktion (Grenzkosten) \(\frac{\partial C}{\partial q}\) ist.

​Bei dem obigen Beispiel handelt es sich um einfache, direkte, partielle Beziehungen zwischen der Produktionsmenge \(q\) und den Einnahmen/Kosten/Gewinn. In den meisten realen Situationen werden Erlöse und Kosten auch von anderen Variablen abhängen, z. B. vom Verkaufsaufwand \(e\) und den Marketingausgaben \(m\) für die Erlöse und vom Rohstoffpreis \(r\) und den Löhnen \(w\) für die Kosten. Da diese anderen Variablen mit der Produktionsmenge interagieren, kann es notwendig sein, die Gesamtableitungen der Erlös- und Kostenfunktionen in Bezug auf \(q\) zu berechnen, um das optimale Produktionsniveau zu bestimmen,\[\begin{aligned} \frac{dR\left(q,e\left(q\right),m\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial R}{\partial q}+\frac{\partial R}{\partial e}\frac{de}{dq}+\frac{\partial R}{\partial m}\frac{dm}{dq}; \\ \frac{dC\left(q,r\left(q\right),w\left(q\right)\right)}{dq}&=\frac{\partial C}{\partial q}+\frac{\partial C}{\partial r}\frac{dr}{dq}+\frac{\partial C}{\partial w}\frac{dw}{dq}. \end{aligned}\] Bei der Berechnung dieser Gesamt Ableitungen werden alle indirekten Auswirkungen einer Änderung der Produktionsmenge auf die Erlöse und Kosten berücksichtigt, die sich aufgrund möglicher Unterschiede bei den Verkaufs Anstrengungen, den Marketingausgaben, den Rohstoffpreisen und den Löhnen ergeben, die durch die Änderung der Produktionsmenge verursacht werden.

Weitere Lektüre

Hal Varian bietet im mathematischen Anhang seines beliebten Lehrbuchs Intermediate Microeconomics eine einfache Einführung für Wirtschaftswissenschaftler in die Berechnung von totalen und partiellen Ableitungen von Funktionen: A Modern Approach (siehe Abschnitte A10 bis A13 der neunten Auflage).

Gut zu wissen

Wenn Wirtschaftswissenschaftler Ableitungen von Funktionen berechnen, führen sie in den meisten Fällen eine ceteris-paribus-Analyse durch. Die partielle Ableitung einer Funktion \(y=f\left(x_{1},\cdot\right)\) nach \(x_{1}\) besteht im Wesentlichen darin, die Auswirkung von \(x_{1}\) auf \(y\) abzuschätzen, wobei angenommen wird, dass alles andere gleich bleibt.