Die Lagrange-Optimierung ist eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen. Die Methode nutzt den Lagrange-Multiplikator, nach dem sie benannt ist (dieser wiederum wurde nach dem 1736 geborenen Mathematiker und Astronomen Joseph-Louis Lagrange benannt). Viele Teilgebiete der Wirtschaftswissenschaften verwenden diese Technik, und sie wird in den meisten Einführungskursen in die Mikroökonomie behandelt, so dass es sich lohnt, sich mit ihr vertraut zu machen.

Mikroökonomen interessieren sich häufig für die optimalen Entscheidungen, die ein Wirtschaftssubjekt mit seinem begrenzten Budget treffen kann. Was ist beispielsweise der maximale Nutzen, den jemand durch den Kauf einer bestimmten Kombination von Gütern erzielen kann?

Die Lagrange-Optimierung ermöglicht es uns, diese Art von Problem auf recht einfache Weise zu lösen. Zunächst einmal wird davon ausgegangen, dass eine Budgetbeschränkung verbindlich ist. Dies ist in einer Welt sinnvoll, in der wir davon ausgehen, dass die Akteure rationale Verbraucher sind. Wenn jemand nicht sein gesamtes Geld verbraucht, ist er sich darüber im Klaren, dass es ihm besser gehen würde, wenn er den Rest seines Geldes verwendet.

Eine Budgetbeschränkung sieht oft ähnlich aus wie q*p ≤ a, wobei a das Gesamtbudget, q die Menge und p der Preis ist. Für unser Problem verwenden wir die Bedingung q₁*p₁ + q₂*p₂ ≤ a, wobei q₁ und q₂ zwei verschiedene Güter mit jeweils eigenen Preisen sind. Dies zeigt, dass der Gesamtwert der Güter, die der Verbraucher kauft, kleiner oder gleich dem Geld sein muss, das er hat. Wenn eine Budgetbeschränkung wie diese "bindend" ist, bedeutet dies lediglich, dass die Ungleichheit zu einem Gleichheitszeichen wird. Oder anders ausgedrückt: Der Verbraucher verbraucht sein gesamtes Geld.

Der nächste Schritt besteht darin, zu subtrahieren, so dass die Budgetbeschränkung auf der gleichen Seite der Gleichung liegt, etwa so: q₁*p₁ + q₂*p₂ - a = 0.

Nun multiplizieren wir diese Budgetbeschränkung mit dem Lagrange-Multiplikator λ, der den "Schattenpreis" darstellt. Das heißt, wenn dieses Problem gelöst wird, zeigt uns der Lagrange-Multiplikator λ, wie sehr sich die Zielfunktion (d. h. die Nutzenfunktion, die Ertragsfunktion usw.) als Reaktion auf eine infinitesimale Änderung der Budgetbeschränkung ändert.

Um die Problemstellung abzuschließen, subtrahieren Sie einfach diese modifizierte Budgetbeschränkung von der ursprünglichen Gleichung. In unserem Fall bedeutet dies, dass das vollständige Lagrangesche Optimierungsproblem wie folgt aussieht:

L(q₁,q₂,p₁,p₂) = U(q₁,q₂,p₁,p₂) - λ(q₁*p₁ + q₂*p₂ - a)

wobei L ein Lagrangesches Optimierungsproblem bezeichnet und U(q₁,q₂,p₁,p₂) die Nutzenfunktion in Abhängigkeit von q und p für beide Güter ist.

Um dieses Problem zu lösen, nehmen wir eine Reihe von partiellen Ableitungen für jede Variable und setzen jede gleich Null, um die kritischen Punkte dieser Funktion zu finden. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass die Preise und das Budget fest sind, so dass q₁, q₂ und λ als Variablen übrig bleiben, für die wir die Lagrange ableiten müssen. Das sieht dann folgendermaßen aus:

\begin{equation*}
            \frac{\partial{L}}{\partial{q}_1} = \frac{\partial{U}}{\partial{q}_1} - \lambda*\mathit{p}_1 = 0
            \end{equation*}

\begin{equation*}
            \frac{\partial{L}}{\partial{q}_2} = \frac{\partial{U}}{\partial{q}_2} - \lambda*\mathit{p}_2 = 0
            \end{equation*}

\begin{equation*}
            \frac{\partial{L}}{\partial{\lambda}} = 0 - \mathit{q}_1*\mathit{p}_1 - \mathit{q}_2*\mathit{p}_2 + \textit{a} = 0
            \end{equation*}

Beachten Sie, dass sich die letzte partielle Ableitung auf genau die Budgetbeschränkung reduziert, die wir ursprünglich hatten. Diese partiellen Ableitungen liefern uns eine Reihe von Gleichungen, die wir lösen müssen.

In der realen Welt kann uns eine Computersoftware dabei helfen, aber in den Wirtschaftskursen werden die Beziehungen durch Algebra lösbar sein. Die Lösung ergibt die optimale Menge der beiden Güter, die der Verbraucher kaufen muss, um seinen Nutzen zu maximieren, wenn er sein Budget und die Preise beider Güter kennt. Diese Antworten können in die ursprüngliche Nutzenfunktion eingesetzt werden, um den maximalen Nutzen zu ermitteln, der sich daraus ergibt.

Nehmen wir als Beispiel an, dass das Gut 1 Tee (gemessen in Litern) und das Gut 2 Kekse sind. Nehmen wir weiter an, dass die Endergebnisse des Optimierungsproblems uns q₁ = 5 und q₂ = 10 liefern. Diese Beträge zeigen, dass für diese Person und ihre Budgetbeschränkung der höchstmögliche Nutzen durch den Konsum von 5 Litern Tee und 10 Keksen erreicht wird. Dann können q₁ = 5 und q₂ = 10 zusammen mit den gegebenen Preisen wieder in U(q₁,q₂,p₁,p₂) eingesetzt werden, um den Gesamtnutzen aus diesem Konsummix für diese Person zu erhalten. An dieser Stelle zeigt λ den zusätzlichen Nutzen, den diese Person gewinnen könnte, wenn ihr Budget um einen Dollar erhöht würde.

Nebenbei bemerkt, fragen Sie sich vielleicht, wie Sparen in dieses Bild passt. Die Menschen werden oft dazu angehalten, etwas Geld beiseite zu legen, um zu sparen und nicht auszugeben. Wie kann es dann für die Menschen am besten sein, ihr gesamtes Geld auszugeben, so dass die Budgetbeschränkung vollständig ausgeschöpft wird?

In unserem Rahmen mit der Budgetbeschränkung in diesem Problem kann man sich "Ersparnisse" als ein Gut wie eine Banane oder einen Schal vorstellen. Die Menschen entscheiden, wie viel Geld sie für Ersparnisse "ausgeben". Der Rahmen unseres Problems ändert sich also nicht. Die Menschen sind besser dran, wenn sie ihr gesamtes Budget nutzen, wobei ein Teil des Budgets zum "Kauf" von Ersparnissen verwendet werden kann. In der Makroökonomie wird das Sparen in der Regel getrennt vom Konsum betrachtet, da es genauer untersucht wird als in unserem einfachen Beispiel hier.

Gut zu wissen

Diese Art von Problem kann leicht angepasst werden, um viele verschiedene wirtschaftliche Szenarien zu berücksichtigen, ohne die Grundstruktur der Lösung zu verändern. Anstatt die Nutzenfunktion eines Verbrauchers und sein Budget zu betrachten, können wir zum Beispiel die Produktionsentscheidungen eines Unternehmens analysieren.

Dazu ersetzen wir die Nutzenfunktion durch eine Ertragsfunktion, und das Budget ergibt sich aus der Menge mal den Kosten für jedes Gut, anstatt aus dem Preis. Die zugrunde liegende Mathematik wird nicht verändert. Wenn wir die optimalen Beträge in die ursprüngliche Ertragsfunktion einsetzen, ergibt sich der mögliche Gesamtertrag, den das Unternehmen angesichts seiner Kosten erzielen kann.

In fortgeschritteneren Kursen zur Mikroökonomie wird diese Art der Optimierung häufig mit geringfügigen Ergänzungen wieder aufgegriffen. So können beispielsweise  Bertrand-,  Cournot- und  Stackelberg-Konkurrenzmodelle mit der Lagrange-Methode gelöst werden, wobei die obige Formel leicht angepasst wird.

Üben Sie die Anwendung der Lagrange-Methode…

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