La optimización lagrangiana es un método de resolución de problemas de optimización con restricciones. Este método emplea el multiplicador de Lagrange, de ahí su nombre (esto, a su vez, debiendo su nombre al matemático y astrónomo Joseph-Louis Lagrange, nacido en 1736). Muchas subáreas de la economía emplean esta técnica, y es además tratada en la mayoría de cursos de introducción a la microeconomía, por lo que es importante familiarizarse con ello.

A menudo, los microeconomistas se ven interesados en la decisión óptima que un agente económico puede tomar haciendo uso de su limitado presupuesto. Por ejemplo, ¿cuál es la máxima utilidad que alguien puede alcanzar al comprar alguna combinación de productos?

La optimización lagrangiana permite resolver este tipo de problemas de forma bastante simple. En primer lugar, este método asume que la restricción presupuestaria es vinculante. Esto cobra sentido en un mundo donde se asume que los actores son consumidores racionales. Si alguien no usase todo su dinero, éste entendería que su posición mejoraría en caso de utilizar el resto del dinero.

Una restricción presupuestaria suele tener un aspecto similar al de q*p ≤ a, donde a es el presupuesto total, q es la cantidad, y p es el precio. Para el problema que hemos descrito, utilizaremos la restricción q₁*p₁ + q₂*p₂ ≤ a, donde q₁ y q₂ son dos productos distintos, cada uno con su propio precio. Esto da a entender que el valor total de los productos que el consumidor compra debe ser inferior que o igual a la cantidad de dinero que tiene. Cuando una restricción presupuestaria como esta es “vinculante”, simplemente significa que la desigualdad pasa a convertirse en un signo de igual. O, en otras palabras, el consumidor utiliza toda la cantidad de dinero disponible.

El siguiente paso consiste en substraer a de ambos lados de la igualdad, de tal forma que la restricción presupuestaria pasa a estar en el lado izquierdo de la ecuación, de la siguiente manera: q₁*p₁ + q₂*p₂ - a = 0.

Seguidamente, multiplicamos la restricción presupuestaria por el multiplicador de Lagrange λ, el cual representa el “precio sombra”. Es decir, cuando resolvemos este problema, el multiplicador de Lagrange λ nos muestra hasta qué punto cambia la función objetivo (p.ej. la función de utilidad, la función de ingreso, etc.) en respuesta a un cambio infinitesimal en la restricción presupuestaria.

Finalmente, para completar la estructura del problema, simplemente habría que substraer esta restricción presupuestaria modificad de la ecuación original. En este caso, esto significa que la optimización lagrangiana completa tiene el siguiente aspecto:

L(q₁,q₂,p₁,p₂) = U(q₁,q₂,p₁,p₂) - λ(q₁*p₁ + q₂*p₂ - a)

donde L indica un problema de optimización lagrangiana, y U(q₁,q₂,p₁,p₂) es la función de utilidad como función de q y p para ambos productos.

Para resolver este problema, tomamos una serie de derivadas parciales para cada variable e igualamos éstas a cero para dar con los puntos críticos de esta función. En este caso, asumimos que los precios y el presupuesto son fijos, por lo que q₁, q₂ y λ son variables que deberíamos derivar con respecto a la lagrangiana. Esto se representa de la forma siguiente:

\begin{equation*}
        \frac{\partial{L}}{\partial{q}_1} = \frac{\partial{U}}{\partial{q}_1} - \lambda*\mathit{p}_1 = 0
    \end{equation*}
\begin{equation*}
        \frac{\partial{L}}{\partial{q}_2} = \frac{\partial{U}}{\partial{q}_2} - \lambda*\mathit{p}_2 = 0
    \end{equation*}
\begin{equation*}
        \frac{\partial{L}}{\partial{\lambda}} = 0 - \mathit{q}_1*\mathit{p}_1 - \mathit{q}_2*\mathit{p}_2 + \textit{a} = 0
    \end{equation*}

Cabe señalar que la última derivada parcial se corresponde exactamente con la restricción presupuestaria que había originalmente. Estas derivadas parciales proporcionan una serie de ecuaciones para resolver el problema.

En el mundo real, los programas informáticos nos pueden ayudar a hacer estos cálculos, si bien en los cursos de economía la forma de resolverlo sería mediante álgebra. El resultado ofrece la cantidad óptima de ambos productos que el consumidor puede comprar para maximizar su utilidad, dados su presupuesto y los precios de ambos productos. Estos resultados se pueden sustituir de vuelta en la función de utilidad para dar con la cantidad máxima de utilidad que proporciona.

A modo de ejemplo, consideremos que el producto 1 es té (medido en litros), y que el producto 2 son galletas. También asumamos que los resultados finales del problema de optimización nos dan q₁ = 5 and q₂ = 10. Estas cantidades muestran que, para este individuo y su restricción presupuestaria, se alcanzaría el mayor nivel de utilidad posible mediante el consumo de 5 litros de té y 10 galletas. Por lo tanto, q₁ = 5 y q₂ = 10 se pueden sustituir de vuelta en U(q₁,q₂,p₁,p₂) junto con los precios existentes para obtener la utilidad total de esta combinación de consumo para este individuo. En este punto, λ muestra la utilidad adicional que este individuo obtendría si su presupuesto aumentase en un dólar.

De todos modos, puede que te estés preguntando de qué forma podrían encajar los ahorros bajo este escenario. A menudo, las personas se ven animadas a reservar cierta cantidad de dinero para su ahorro, en lugar de para su gasto. ¿Cuál podría ser para alguien la mejor forma para gastar todo el dinero disponible, de tal forma que la restricción presupuestaria se agote completamente?

En este contexto incluyendo la restricción presupuestaria en el problema, los “ahorros” se pueden entender como un producto cualquiera, tal y como un plátano o una bufanda. Las personas eligen cuánto dinero “gastar” en sus ahorros. De esta forma, el contexto de nuestro problema no cambia. Las personas se encuentran en una situación mejor al utilizar el presupuesto completo, donde cierta parte del presupuesto se puede emplear para “comprar” ahorros. En la macroeconomía, los ahorros a menudo son considerados de forma separada al consumo, ya que se estudian con más precisión que en el ejemplo expuesto en este artículo.

Conviene saber

Este tipo de problema puede ser fácilmente ajustado para incluir muchos escenarios económicos distintos sin necesidad de cambiar la estructura básica del resultado. Por ejemplo, en lugar de considerar la función de utilidad y el presupuesto de un consumidor, podemos analizar las decisiones de producción de una empresa.

Para hacer esto, reemplazamos la función de utilidad por una función de ingreso, por lo que el presupuesto pasa a ser la cantidad multiplicada por el coste de cada producto, en lugar del precio. La matemática base no se ve cambiada. Cuando sustituimos las cantidades óptimas en la función de ingreso original, obtenemos el posible ingreso total que la empresa puede generar dados sus costes.

Los cursos más avanzados de microeconomía a menudo recurren a este tipo de optimización con agregados menores. Por ejemplo los modelos de competencia Bertrand, Cournot, y Stackelberg se pueden resolver utilizando el método de Lagrange con ligeros ajustes respecto a la fórmula superior.

Practica utilizando el método de Lagrange...

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