Une fonction de production de Cobb-Douglas modélise la relation entre la production et les facteurs de production. Elle est utilisée pour calculer les ratios des intrants (inputs) les uns par rapport aux autres pour une production efficace et pour estimer l'évolution technologique des méthodes de production. La forme générale d'une fonction de production de Cobb-Douglas pour un ensemble de \(n\) inputs est la suivante : \[Y=f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=\gamma\prod^{n}_{i=1}x^{\alpha_{i}}_{i}\] où \(Y\) représente l’output, \(x_{i}\) l'input \(i\), et \(\gamma\) et \(\alpha_{i}\) sont des paramètres déterminant l'efficacité globale de la production et la réactivité des outputs aux changements de quantité des inputs.

L'application de cette fonction dans la mesure de la production est due au mathématicien Charles Cobb et à l'économiste Paul Douglas qui l'ont utilisée pour examiner l'importance relative des deux facteurs de production, le travail et le capital, dans la production manufacturière aux États-Unis sur la période de 1899 à 1922. Dans leur modèle original, Cobb et Douglas limitent les paramètres d'élasticité de la production \(\alpha_{1}\) et \(\alpha_{2}\) à l'intervalle \(\alpha_{i}\in\left(0,1\right)\) et à la somme à un, ce qui implique des rendements d'échelle constants. 

La fonction est donc \[Y=\gamma x^{\alpha_{1}}_{1}x^{1-\alpha_{1}}_{2}\] où \(x_{1}\) et \(x_{2}\) représentent respectivement le travail et le capital. En prenant le logarithme des deux côtés de l'équation, on obtient \[\ln{Y}=\ln{\gamma}+\alpha_{1}\ln{x_{1}}+\left(1-\alpha_{1}\right)\ln{x_{2}}\] de sorte que pour les données sur la production, le travail et le capital, les paramètres \(\gamma\) et \(\alpha_{1}\) peuvent être estimés en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaire. Sur la base de leurs données, Cobb et Douglas ont trouvé une valeur de 0,75 pour \(\alpha_{1}\), ce qui implique que le travail représentait les trois quarts de la valeur de la production manufacturière américaine (le capital représentant le quart restant) sur la période étudiée. Leur estimation du paramètre d'efficacité \(\gamma\) est de 1,01, ce qui, puisqu'il est supérieur à 1, reflète les effets positifs des forces non observables sur la production par la combinaison du travail et du capital.

La nature multiplicative d'une fonction de production de Cobb-Douglas, en supposant des valeurs positives pour \(\alpha_{i}\), signifie que les inputs sont des compléments dans la production. Dans le modèle standard du travail et du capital, l'augmentation de la quantité de capital augmente la production non seulement directement, mais aussi indirectement par son impact sur la productivité du travail. Mathématiquement, la dérivée croisée de la production \(Y\) par rapport au travail \(x_{1}\) et au capital \(x_{2}\) est positive. En outre, en raison de l'hypothèse selon laquelle \(\alpha_{i}\in\left(0,1\right)\), les dérivées partielles d'ordre 2 de la production par rapport au travail et au capital sont toutes deux négatives, ce qui implique des rendements marginaux décroissants pour chaque input seul. Le simple fait d'ajouter soit plus de travail, soit plus de capital (mais pas les deux) au processus de production augmente la production, bien qu'à un taux décroissant. En outre, l'élasticité de substitution entre les inputs est constante et égale à un en raison de la forme fonctionnelle. 

Une fonction de production de Cobb-Douglas à deux inputs peut être représentée graphiquement sous forme d'isoquants : combinaisons des deux inputs pour lesquels la production est constante. Il y a quatre isoquants de ce type dans le graphique pour les niveaux d’output (constants) : \(\overline{Y_{1}}\), \(\overline{Y_{2}}\), \(\overline{Y_{3}}\) et \(\overline{Y_{4}}\). Plus l'isoquant est éloigné de l'origine, plus le niveau de sortie est élevé \(\overline{Y_{4}}>\overline{Y_{3}}>\overline{Y_{2}}>\overline{Y_{1}}\). La combinaison optimale des inputs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) pour la production est déterminée par le budget dont dispose le producteur ainsi que par le rapport de coût de l’input \(x_{2}\) à l’input \(x_{1}\) qui peut être inclus dans le graphique sous la forme d'une ligne d'isocoût (voir l'article sur l'élasticité de substitution).

Cobb et Douglas eux-mêmes ont reconnu que leur fonction de production ne repose pas sur des bases théoriques solides, et qu'elle ne doit pas être comprise comme une loi de production ; elle représente simplement une approximation statistique des relations observées entre les inputs et les outputs. Néanmoins, ses propriétés mathématiques simples sont attrayantes pour les économistes et l'ont fait devenir une norme dans la théorie microéconomique au cours du siècle dernier.

En savoir plus

Pour le contexte et un aperçu des principales propriétés des fonctions de production de Cobb-Douglas, nous vous conseillons de consulter les sections 6, 7 et 8 de l'article original de Cobb et Douglas, "A Theory of Production" (The American Economic Review, 1928).

Bon à savoir

La forme fonctionnelle de Cobb-Douglas n'est pas seulement utilisée dans la théorie de la production, mais elle est également devenue la norme dans la théorie microéconomique de la consommation où elle est appliquée en tant que fonction d'utilité, où \(Y\) devient \(U\) pour l'utilité. Les \(x_{i}\) représentent alors les niveaux de consommation et, lorsque la fonction d'utilité est maximisée sous réserve d'une contrainte budgétaire, les valeurs de \(\alpha_{i}\) indiquent comment l'individu répartira le budget de manière optimale entre les niveaux.