Der Stackelberg-Wettbewerb beschreibt ein Oligopol-Marktmodell, das auf einem nicht-kooperativen strategischen Spiel beruht, bei dem ein Unternehmen (der "Marktführer") als erstes handelt und entscheidet, wie viel es produzieren will, während alle anderen Unternehmen (die "Mitläufer") erst danach entscheiden, wie viel sie produzieren wollen. Diese sequentielle Struktur ist der Hauptunterschied zum Cournot-Modell, bei dem die Unternehmen gleichzeitig über ihre Produktionsmengen entscheiden.

Der Marktführer kann aufgrund seiner Größe, seines guten Rufs, seiner Innovationsfähigkeit oder einfach deshalb, weil er als erstes Unternehmen tätig wurde, eine führende Position auf einem Markt einnehmen. Der Marktführer ist in der Regel bei den Kunden besser bekannt und anerkannt, so dass er besser in der Lage ist, zuerst über die zu verkaufende Menge zu entscheiden. Der oder die Nachfolger entscheiden dann über ihre Produktion, nachdem sie die Produktionsentscheidung des Marktführers beobachtet haben.

Das Stackelberg-Führungsmodell wurde 1934 von dem deutschen Wirtschaftswissenschaftler Heinrich Freiherr von Stackelberg in seinem Buch "Marktform und Gleichgewicht" entwickelt.

Die Annahmen des Stackelberg-Modells sind größtenteils dieselben wie die des Cournot-Modells, mit der wichtigen Ausnahme, dass die Unternehmen ihre Entscheidungen über die Produktionsmenge sequentiell treffen. Diese Annahmen lauten wie folgt:

• Es gibt eine feste Anzahl von Unternehmen auf dem Markt und die Unternehmen haben Marktmacht. Dies bedeutet, dass die Produktionsentscheidungen jedes Unternehmens den Marktpreis beeinflussen.
• Alle Unternehmen produzieren ein homogenes Gut und unterliegen denselben Nachfrage- und Kostenfunktionen. Mit anderen Worten: Es gibt keine Produktdifferenzierung. Dies bedeutet, dass die von jedem Unternehmen produzierten Güter in den Augen der Verbraucher völlig identisch sind (sie sind perfekte Substitute).
• Die Unternehmen konkurrieren in Bezug auf die von ihnen produzierten Mengen. Das heißt, sie konkurrieren um Marktanteile. Dies ist der entscheidende Unterschied zum Bertrand-Wettbewerb, bei dem die Unternehmen über die Preise konkurrieren.
• Die Unternehmen entscheiden nacheinander über die von ihnen produzierten Mengen, d. h. wir haben ein Modell mit zwei verschiedenen Perioden. In der ersten Periode wählt das führende Unternehmen seine Produktionsmenge aus. Diese Entscheidung kann danach nicht mehr geändert werden. In der zweiten Periode wählen die nachgeordneten Unternehmen ihre Produktionsmenge, nachdem sie die vom Marktführer gewählte Menge beobachtet haben. Dies ist der entscheidende Unterschied zum Cournot-Wettbewerb, bei dem die Produktionsentscheidungen aller Unternehmen gleichzeitig getroffen werden.
• Jedes Unternehmen handelt strategisch in der Annahme, dass seine Konkurrenten ihre Produktion nicht ändern werden, und entscheidet über seine eigene Produktionsmenge, um seinen Gewinn angesichts der Produktion seiner Konkurrenten zu maximieren.  
• Die Unternehmen kooperieren nicht.

Das Stackelberg-Nash-Gleichgewicht

Um das Stackelberg-Nash-Gleichgewich herzuleiten, werden wir uns auf das Beispiel eines Duopols konzentrieren. Das heißt, es gibt nur zwei Unternehmen auf dem Markt. Wir nehmen an, dass Unternehmen 1 (Marktführer) und Unternehmen 2 (Nachfrager) das gleiche Gut zu den gleichen Produktionskosten c1 = c2 = c herstellen.

Wir nehmen ferner an, dass beide Unternehmen mit der gleichen linearen Nachfragefunktion konfrontiert sind, die wie folgt lautet:

p(Q) = a - bQ

wobei a > 0 und b > 0 ist.

Die gesamte Marktmenge ist die Summe der Produktion des Marktführers (q₁) und des Nachfolgers (q₂), also Q = q1 + q₂. Wir können diesen Ausdruck für Q in den folgenden Gleichungen ersetzen. Der Gesamtertrag von Unternehmen 1 ergibt sich dann aus dem Marktpreis p(Q) mal der produzierten Menge:

\begin{equation*}
            r_1=p(Q)q_1=(a-b(q_1+q_2))q_1 \quad \text{(analog für Firma 2)},
\end{equation*}

und der Gesamtgewinn von Unternehmen 1 errechnet sich aus der Differenz zwischen Erlösen und Produktionskosten:

\begin{equation*}
            \pi_1= p(Q)q_1-cq_1=(a-b(q_1+q_2)-c)q_1 \quad \text{(analog für Firma 2)}.
\end{equation*}

Ab hier nehmen wir a > c an, was eine notwendige Bedingung dafür ist, dass positive Gewinne erzielt werden können.

Jedes Unternehmen wählt die Produktionsmenge, die seine Gewinne maximiert, wobei die von anderen Unternehmen auf dem Markt produzierte Menge berücksichtigt wird. Um das Nash-Gleichgewicht dieses sequentiellen Spiels zu finden, müssen wir die Rückwärtsinduktion anwenden. Das heißt, wir lösen zunächst das Optimierungsproblem für den Follower in der zweiten Periode und bestimmen mit diesen Informationen die optimale Wahl des Leaders in der ersten Periode.

In der zweiten Periode wählt Firma 2 (Follower) q2, wobei die vom Leader in der ersten Periode produzierte Menge berücksichtigt wird. Um den optimalen Output zu ermitteln, muss also die Menge q2 gefunden werden, die die Gewinnfunktion für Unternehmen 2 maximiert, wobei q1  als gegeben angenommen wird. Für Firma 2 ist das Problem also ähnlich wie beim Cournot-Modell:

\begin{align*}
            \max_{q_2} \{\pi(q_2) &=(a-b(q_1+q_2)-c)q_2\} \\
            \frac{\partial \pi(q_2)}{\partial q_2} &= a-bq_1-2bq_2-c = 0  \quad  | \quad \text{für q2 lösen} \\
            q_2^* &= R_2(q_1)= \frac{a-bq_1-c}{2b} \quad \text{= Die Cournotsche Reaktionsfunktion}.
\end{align*}

Wie im Cournot-Modell ist die Gleichung R₂(q₁) die beste Reaktionsfunktion von Firma 2 auf jede von Firma 1 produzierte Menge.

In der ersten Periode wählt Firma 1 (Marktführer) q1, wobei sie davon ausgeht, dass Firma 2 in der zweiten Periode auf diese Wahl entsprechend ihrer Reaktionsfunktion R2(q1) reagieren wird. Um die optimale Produktionsmenge von Firma 1 zu berechnen, setzen wir also die optimale Reaktion von Firma 2 anstelle von q2 in die Gewinnfunktion von Firma 1 ein und nehmen dann die erste Ableitung:

\begin{align*}
            \max_{q_1} \{\pi(q_1) &=(a-b(q_1+R_2(q_1))-c)q_1=aq_1-bq_1^2-bq_1R_2(q_1)-cq_1\} \\
            & \quad  \text{Hinweis: Verwenden Sie die Produktregel zur Unterscheidung $-bq_1R_2(q_1)$} \\
            \frac{\partial \pi(q_1)}{\partial q_1} &= a-2bq_1-bR_2(q_1)-bq_1R_2'(q1)-c = 0  \quad  | \quad \text{$R_2$ und $R_2'$ einfügen} \\
            & \Leftrightarrow a-2bq_1-b\left[\frac{a-bq_1-c}{2b}\right]+bq_1\frac{1}{2}-c = 0  \quad  | \quad \text{lösen für q1} \\
            & \Leftrightarrow a-2bq_1-\frac{a}{2}+\frac{bq_1}{2}+\frac{c}{2}+\frac{bq_1}{2}-c=0 \\
            & \Leftrightarrow \left[\frac{a-c}{2}\right]-bq_1=0 \\
            & \Leftrightarrow q_1^*= \frac{a-c}{2b} > \frac{a-c}{3b} = q_{Cournot}^*.
\end{align*}

Ausgehend von der vom Marktführer produzierten Menge, q₁*, können wir dann die vom Nachfrager produzierte Menge berechnen:

\begin{align*}
            q_2^* &= \frac{a-bq_1^*-c}{2b} = \left[\frac{a-c}{2b}\right]-q_1^*\frac{1}{2} \quad  | \quad \text{$q_1^*$ einfügen} \\
            \Leftrightarrow q_2^* &= \left[\frac{a-c}{2b}\right]-\frac{1}{2}\left[\frac{a-c}{2b}\right] \\
            \Leftrightarrow q_2^* &= \frac{a-c}{4b} < \frac{a-c}{3b} = q_{Cournot}^*.
\end{align*}

Im Stackelberg-Nash-Gleichgewicht produziert der Marktführer also eine größere Menge und der Verfolger eine kleinere Menge, als die gleichen Unternehmen im Cournot-Nash-Gleichgewicht produziert hätten. Die nachstehende Abbildung veranschaulicht den Unterschied in den Produktionsmengen in einem Stackelberg- oder Cournot-Oligopol (unvollkommener Wettbewerb) oder einem monopolistischen Markt (Unternehmen 1 ist das einzige Unternehmen auf dem Markt), bei dem q₁^S > q₁^C und q₂^S < q₂^C:

Die Berechnung der Gesamtmenge und des Marktpreises unter Berücksichtigung von q₁* and q₂* zeigt, dass Stackelbergs sequentielles Spiel zu einem wettbewerbsfähigeren Gleichgewicht führt, das durch eine höhere Gesamtproduktion und ein niedrigeres Preisniveau gekennzeichnet ist als das simultane Spiel von Cournot:

\begin{align*}    
            Q^* &=  q_1^* +  q_2^* = \frac{a-c}{2b} + \frac{a-c}{4b} = \frac{3}{4} \left[\frac{a-c}{b}\right] > \frac{2}{3} \left[\frac{a-c}{b}\right] = Q_{Cournot}^* \\
            p^* &= a - bQ^*= a - \frac{3}{4}(a-c) = \frac{a+3c}{4} < \frac{a+2c}{3} = p_{Cournot}^*.
\end{align*}

Der Stackelberg-Führer berücksichtigt, dass eine höhere Produktion den Verfolger veranlasst, weniger zu produzieren, aber auch, dass eine höhere Produktion das Preisniveau senkt. In diesem speziellen Szenario mit einer linearen Nachfragefunktion und identischen Kosten heben sich die beiden Effekte genau auf, und in diesem Fall erhalten wir eine Lösung, bei der der Stackelberg-Führer die Monopolmenge produziert (obwohl er aufgrund des gesunkenen Preisniveaus weniger als den Monopolgewinn erhält).

Setzt man die Produktionsmengen und das Preisniveau in die Gewinnfunktionen ein, so stellt man fest, dass der Stackelberg-Führer höhere Gewinne und der Stackelberg-Folger niedrigere Gewinne erzielt als die gleichen Unternehmen im Cournot-Modell. Dieser zusätzliche Gewinn, den der Leader im Vergleich zum Follower hat, ist darauf zurückzuführen, dass der Follower zuerst eine Produktionsentscheidung trifft, was bedeutet, dass er die Produktion des Leaders als gegeben hinnehmen und selbst eine geringere Menge produzieren muss. Dies wird als First-Mover-Vorteil bezeichnet.

In der nachstehenden Abbildung veranschaulichen die Bereiche 1 und 2 den Wohlfahrtsgewinn im Stackelberg-Modell im Vergleich zum Cournot-Modell, während Bereich 3 den verbleibenden Mitnahmeeffekt im Vergleich zu einer Situation des vollkommenen Wettbewerbs veranschaulicht. Wichtig ist, dass das Stackelberg-Gleichgewicht nur dann effizienter ist als das Cournot-Gleichgewicht, wenn die Unternehmen symmetrisch sind, d. h. wenn beide Unternehmen die gleichen Produktionskosten haben. Wenn der Marktführer höhere Produktionskosten hat und somit weniger effizient ist als der Verfolger, wäre das Cournot-Gleichgewicht aus Sicht der Wohlfahrt vorzuziehen, da das sequenzielle Modell von Stackelberg dem weniger effizienten Unternehmen mit höheren Kosten einen Vorteil verschaffen würde.

Gut zu wissen

Auf realen Märkten kann es zu einem Wettbewerb vom Typ Stackelberg kommen, wenn z. B. ein sequentieller Markteintritt oder ein F&E-Wettlauf ein Unternehmen in eine bessere Marktposition als seine Konkurrenten bringt. Betrachten wir als Beispiel hierfür Microsoft in den 1990er Jahren.

Betrachten wir den Markt für Betriebssysteme, die wir zur Interaktion mit unseren Computern verwenden. Microsoft war in den 1990er Jahren führend auf dem Markt für Betriebssysteme und beherrschte mit seinem beliebten Windows-Betriebssystem schließlich über 90 % des Marktanteils. Aufgrund dieser Marktposition mussten die Softwareanwendungen in der Regel mit dem Betriebssystem von Microsoft kompatibel sein. Microsofts Produktionsentscheidungen stellten alle nachfolgenden Unternehmen in den Schatten, die bei ihren Produktionsentscheidungen den enormen Marktanteil von Microsoft berücksichtigen mussten (oder einen Plan ausarbeiten mussten, um selbst einen Teil dieses Marktanteils zu erobern).

Schließlich wurden auch die Apple-Computer populär, und das Apple DOS nahm den Windows-Betriebssystemen von Microsoft einige Marktanteile ab. Natürlich haben die Menschen im wirklichen Leben im Allgemeinen eine starke Präferenz für einen Mac oder einen PC. Hier unterscheidet sich das Beispiel von dem Stackelberg-Modell, über das wir in diesem Artikel gesprochen haben, da die Betriebssysteme in den Augen der Verbraucher nicht identisch sind. Obwohl die Produkte ähnlich sind, wird es in der Realität fast immer eine gewisse Produkt- und Preisdifferenzierung geben, die dazu führt, dass die Marktdynamik von dem stilisierten Modell abweicht.